Ratkaise 11y^2+y=2

$$11 y ^ { 2 } + y = 2$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}\approx 0,383362779$$

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}\approx -0,47427187$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$11y^{2}+y=2$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$11y^{2}+y-2=2-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$11y^{2}+y-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 11, b luvulla 1 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Korota 1 neliöön.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Kerro -4 ja 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Kerro -44 ja -2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+88}}{2\times 11}$$

Lisää 1 lukuun 88.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{2\times 11}$$

Kerro 2 ja 11.

$$y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun \sqrt{89}.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-1±\sqrt{89}}{22}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{89} luvusta -1.

$$y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$11y^{2}+y=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$\frac{11y^{2}+y}{11}=\frac{2}{11}$$

Jakaminen luvulla 11 kumoaa kertomisen luvulla 11.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y=\frac{2}{11}$$

Jaa \frac{1}{11} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{22}. Lisää sitten \frac{1}{22}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{22}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{22} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{2}{11}+\frac{1}{484}$$

Lisää \frac{2}{11} lukuun \frac{1}{484} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484}=\frac{89}{484}$$

Jaa y^{2}+\frac{1}{11}y+\frac{1}{484} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}=\frac{89}{484}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{484}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{1}{22}=\frac{\sqrt{89}}{22} y+\frac{1}{22}=-\frac{\sqrt{89}}{22}$$

Vähennä \frac{1}{22} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{89}-1}{22} y=\frac{-\sqrt{89}-1}{22}$$