Ratkaise 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3y^{2} molemmilta puolilta.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -3y^{2}+ay+by+4. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 11.

$$a=12 b=-1$$

Kirjoita \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) uudelleen muodossa -3y^{2}+11y+4.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Ota 3y tekijäksi lausekkeessa -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Jaa yleinen termi -y+4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -y+4=0 ja 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3y^{2} molemmilta puolilta.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Lisää 4 molemmille puolille.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 11 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 11 neliöön.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 121 lukuun 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-11±13}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{-6} luvulla 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-11±13}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Jaa -24 luvulla -6.

$$y=4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3y^{2} molemmilta puolilta.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Jaa 11 luvulla -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Jaa -4 luvulla -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{6}. Lisää sitten -\frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Lisää \frac{4}{3} lukuun \frac{121}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Jaa y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Lisää \frac{11}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$