Ratkaise 11x^2-10x+13=0

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0,454545455+0,987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0,454545455-0,987525499i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 11, b luvulla -10 ja c luvulla 13 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Korota -10 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

Kerro -4 ja 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

Kerro -44 ja 13.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

Lisää 100 lukuun -572.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

Ota luvun -472 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

Kerro 2 ja 11.

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2i\sqrt{118}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

Jaa 10+2i\sqrt{118} luvulla 22.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{118} luvusta 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

Jaa 10-2i\sqrt{118} luvulla 22.

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-10x+13=0$$

Vähennä 13 yhtälön molemmilta puolilta.

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

Kun luku 13 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$11x^{2}-10x=-13$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

Jakaminen luvulla 11 kumoaa kertomisen luvulla 11.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

Jaa -\frac{10}{11} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{11}. Lisää sitten -\frac{5}{11}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{11} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

Lisää -\frac{13}{11} lukuun \frac{25}{121} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

Jaa x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

Lisää \frac{5}{11} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$