Ratkaise 11x^2+4x-2=0

$$11 { x }^{ 2 } +4x-2=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}\approx 0,281729047$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}\approx -0,64536541$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$11x^{2}+4x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 11, b luvulla 4 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 11\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Kerro -4 ja 11.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-44\left(-2\right)}}{2\times 11}$$

Kerro -44 ja -2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+88}}{2\times 11}$$

Lisää 16 lukuun 88.

$$x=\frac{-4±\sqrt{104}}{2\times 11}$$

Ota luvun 104 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{2\times 11}$$

Kerro 2 ja 11.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2\sqrt{26}.

$$x=\frac{2\sqrt{26}-4}{22}$$

Jaa -4+2\sqrt{26} luvulla 22.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±2\sqrt{26}}{22}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{26} luvusta -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}-4}{22}$$

Jaa -4-2\sqrt{26} luvulla 22.

$$x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}+4x-2=0$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$11x^{2}+4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Kun luku -2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$11x^{2}+4x=-\left(-2\right)$$

Vähennä -2 luvusta 0.

$$11x^{2}+4x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 11.

$$\frac{11x^{2}+4x}{11}=\frac{2}{11}$$

Jakaminen luvulla 11 kumoaa kertomisen luvulla 11.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x=\frac{2}{11}$$

Jaa \frac{4}{11} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{2}{11}. Lisää sitten \frac{2}{11}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{2}{11}+\left(\frac{2}{11}\right)^{2}$$

Korota \frac{2}{11} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{2}{11}+\frac{4}{121}$$

Lisää \frac{2}{11} lukuun \frac{4}{121} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121}=\frac{26}{121}$$

Jaa x^{2}+\frac{4}{11}x+\frac{4}{121} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}=\frac{26}{121}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{26}{121}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{2}{11}=\frac{\sqrt{26}}{11} x+\frac{2}{11}=-\frac{\sqrt{26}}{11}$$

Vähennä \frac{2}{11} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{26}-2}{11} x=\frac{-\sqrt{26}-2}{11}$$