Ratkaise 1044*10^-3p=83145*29815(1-186*10^-6p+106*10^-8p^2)

$$1044 \times 10 ^ { - 3 } p = 83145 \times 29815 ( 1 - 186 \times 10 ^ { - 6 } p + 106 \times 10 ^ { - 8 } p ^ { 2 } )$$

Ratkaise muuttujan p suhteen

$$p=\frac{153696374850+50\sqrt{1148595450707205174991}i}{1751804177}\approx 87,736047709+967,315156682i$$

$$p=\frac{-50\sqrt{1148595450707205174991}i+153696374850}{1751804177}\approx 87,736047709-967,315156682i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 10 potenssiin -3, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{1000}.

$$1044\times \frac{1}{1000}p=83145\times 29815\left(1-186\times 10^{-6}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Kerro 1044 ja \frac{1}{1000}, niin saadaan \frac{261}{250}.

$$\frac{261}{250}p=83145\times 29815\left(1-186\times 10^{-6}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Kerro 83145 ja 29815, niin saadaan 2478968175.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-186\times 10^{-6}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Laske 10 potenssiin -6, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{1000000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-186\times \frac{1}{1000000}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Kerro 186 ja \frac{1}{1000000}, niin saadaan \frac{93}{500000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-\frac{93}{500000}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Laske 10 potenssiin -8, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{100000000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-\frac{93}{500000}p+106\times \frac{1}{100000000}p^{2}\right)$$

Kerro 106 ja \frac{1}{100000000}, niin saadaan \frac{53}{50000000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-\frac{93}{500000}p+\frac{53}{50000000}p^{2}\right)$$

Laske lukujen 2478968175 ja 1-\frac{93}{500000}p+\frac{53}{50000000}p^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{261}{250}p=2478968175-\frac{9221761611}{20000}p+\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Vähennä 2478968175 molemmilta puolilta.

$$\frac{261}{250}p-2478968175=-\frac{9221761611}{20000}p+\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Lisää \frac{9221761611}{20000}p molemmille puolille.

$$\frac{261}{250}p-2478968175+\frac{9221761611}{20000}p=\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Selvitä \frac{9221782491}{20000}p yhdistämällä \frac{261}{250}p ja \frac{9221761611}{20000}p.

$$\frac{9221782491}{20000}p-2478968175=\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Vähennä \frac{5255412531}{2000000}p^{2} molemmilta puolilta.

$$\frac{9221782491}{20000}p-2478968175-\frac{5255412531}{2000000}p^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{5255412531}{2000000}p^{2}+\frac{9221782491}{20000}p-2478968175=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{5255412531}{2000000}, b luvulla \frac{9221782491}{20000} ja c luvulla -2478968175 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\sqrt{\left(\frac{9221782491}{20000}\right)^{2}-4\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)\left(-2478968175\right)}}{2\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)}$$

Korota \frac{9221782491}{20000} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\sqrt{\frac{85041272311314165081}{400000000}-4\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)\left(-2478968175\right)}}{2\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{5255412531}{2000000}.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\sqrt{\frac{85041272311314165081}{400000000}+\frac{5255412531}{500000}\left(-2478968175\right)}}{2\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)}$$

Kerro \frac{5255412531}{500000} ja -2478968175.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\sqrt{\frac{85041272311314165081}{400000000}-\frac{521120016433808037}{20000}}}{2\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)}$$

Lisää \frac{85041272311314165081}{400000000} lukuun -\frac{521120016433808037}{20000} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\sqrt{-\frac{10337359056364846574919}{400000000}}}{2\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)}$$

Ota luvun -\frac{10337359056364846574919}{400000000} neliöjuuri.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\frac{3\sqrt{1148595450707205174991}i}{20000}}{2\left(-\frac{5255412531}{2000000}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{5255412531}{2000000}.

$$p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\frac{3\sqrt{1148595450707205174991}i}{20000}}{-\frac{5255412531}{1000000}}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\frac{3\sqrt{1148595450707205174991}i}{20000}}{-\frac{5255412531}{1000000}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -\frac{9221782491}{20000} lukuun \frac{3i\sqrt{1148595450707205174991}}{20000}.

$$p=\frac{-9221782491+3\sqrt{1148595450707205174991}i}{-\frac{5255412531}{1000000}\times 20000}$$

Jaa \frac{-9221782491+3i\sqrt{1148595450707205174991}}{20000} luvulla -\frac{5255412531}{1000000} kertomalla \frac{-9221782491+3i\sqrt{1148595450707205174991}}{20000} luvun -\frac{5255412531}{1000000} käänteisluvulla.

$$p=\frac{-50\sqrt{1148595450707205174991}i+153696374850}{1751804177}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-\frac{9221782491}{20000}±\frac{3\sqrt{1148595450707205174991}i}{20000}}{-\frac{5255412531}{1000000}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{3i\sqrt{1148595450707205174991}}{20000} luvusta -\frac{9221782491}{20000}.

$$p=\frac{-3\sqrt{1148595450707205174991}i-9221782491}{-\frac{5255412531}{1000000}\times 20000}$$

Jaa \frac{-9221782491-3i\sqrt{1148595450707205174991}}{20000} luvulla -\frac{5255412531}{1000000} kertomalla \frac{-9221782491-3i\sqrt{1148595450707205174991}}{20000} luvun -\frac{5255412531}{1000000} käänteisluvulla.

$$p=\frac{153696374850+50\sqrt{1148595450707205174991}i}{1751804177}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$p=\frac{-50\sqrt{1148595450707205174991}i+153696374850}{1751804177} p=\frac{153696374850+50\sqrt{1148595450707205174991}i}{1751804177}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 10 potenssiin -3, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{1000}.

$$1044\times \frac{1}{1000}p=83145\times 29815\left(1-186\times 10^{-6}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Kerro 1044 ja \frac{1}{1000}, niin saadaan \frac{261}{250}.

$$\frac{261}{250}p=83145\times 29815\left(1-186\times 10^{-6}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Kerro 83145 ja 29815, niin saadaan 2478968175.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-186\times 10^{-6}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Laske 10 potenssiin -6, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{1000000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-186\times \frac{1}{1000000}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Kerro 186 ja \frac{1}{1000000}, niin saadaan \frac{93}{500000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-\frac{93}{500000}p+106\times 10^{-8}p^{2}\right)$$

Laske 10 potenssiin -8, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{100000000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-\frac{93}{500000}p+106\times \frac{1}{100000000}p^{2}\right)$$

Kerro 106 ja \frac{1}{100000000}, niin saadaan \frac{53}{50000000}.

$$\frac{261}{250}p=2478968175\left(1-\frac{93}{500000}p+\frac{53}{50000000}p^{2}\right)$$

Laske lukujen 2478968175 ja 1-\frac{93}{500000}p+\frac{53}{50000000}p^{2} tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\frac{261}{250}p=2478968175-\frac{9221761611}{20000}p+\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Lisää \frac{9221761611}{20000}p molemmille puolille.

$$\frac{261}{250}p+\frac{9221761611}{20000}p=2478968175+\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Selvitä \frac{9221782491}{20000}p yhdistämällä \frac{261}{250}p ja \frac{9221761611}{20000}p.

$$\frac{9221782491}{20000}p=2478968175+\frac{5255412531}{2000000}p^{2}$$

Vähennä \frac{5255412531}{2000000}p^{2} molemmilta puolilta.

$$\frac{9221782491}{20000}p-\frac{5255412531}{2000000}p^{2}=2478968175$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{5255412531}{2000000}p^{2}+\frac{9221782491}{20000}p=2478968175$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{5255412531}{2000000}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{5255412531}{2000000}p^{2}+\frac{9221782491}{20000}p}{-\frac{5255412531}{2000000}}=\frac{2478968175}{-\frac{5255412531}{2000000}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{5255412531}{2000000} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{5255412531}{2000000}.

$$p^{2}+\frac{\frac{9221782491}{20000}}{-\frac{5255412531}{2000000}}p=\frac{2478968175}{-\frac{5255412531}{2000000}}$$

Jaa \frac{9221782491}{20000} luvulla -\frac{5255412531}{2000000} kertomalla \frac{9221782491}{20000} luvun -\frac{5255412531}{2000000} käänteisluvulla.

$$p^{2}-\frac{307392749700}{1751804177}p=\frac{2478968175}{-\frac{5255412531}{2000000}}$$

Jaa 2478968175 luvulla -\frac{5255412531}{2000000} kertomalla 2478968175 luvun -\frac{5255412531}{2000000} käänteisluvulla.

$$p^{2}-\frac{307392749700}{1751804177}p=-\frac{50000000}{53}$$

Jaa -\frac{307392749700}{1751804177} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{153696374850}{1751804177}. Lisää sitten -\frac{153696374850}{1751804177}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$p^{2}-\frac{307392749700}{1751804177}p+\left(-\frac{153696374850}{1751804177}\right)^{2}=-\frac{50000000}{53}+\left(-\frac{153696374850}{1751804177}\right)^{2}$$

Korota -\frac{153696374850}{1751804177} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$p^{2}-\frac{307392749700}{1751804177}p+\frac{23622575642031712522500}{3068817874554647329}=-\frac{50000000}{53}+\frac{23622575642031712522500}{3068817874554647329}$$

Lisää -\frac{50000000}{53} lukuun \frac{23622575642031712522500}{3068817874554647329} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$p^{2}-\frac{307392749700}{1751804177}p+\frac{23622575642031712522500}{3068817874554647329}=-\frac{2871488626768012937477500}{3068817874554647329}$$

Jaa p^{2}-\frac{307392749700}{1751804177}p+\frac{23622575642031712522500}{3068817874554647329} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{153696374850}{1751804177}\right)^{2}=-\frac{2871488626768012937477500}{3068817874554647329}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(p-\frac{153696374850}{1751804177}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2871488626768012937477500}{3068817874554647329}}$$

Sievennä.

$$p-\frac{153696374850}{1751804177}=\frac{50\sqrt{1148595450707205174991}i}{1751804177} p-\frac{153696374850}{1751804177}=-\frac{50\sqrt{1148595450707205174991}i}{1751804177}$$

Lisää \frac{153696374850}{1751804177} yhtälön kummallekin puolelle.

$$p=\frac{153696374850+50\sqrt{1148595450707205174991}i}{1751804177} p=\frac{-50\sqrt{1148595450707205174991}i+153696374850}{1751804177}$$