Ratkaise 101y^2-10y=-24

$$101 { y }^{ 2 } -10y=-24$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101}\approx 0,04950495+0,484946412i$$

$$y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}\approx 0,04950495-0,484946412i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$101y^{2}-10y=-24$$

Lisää 24 yhtälön kummallekin puolelle.

$$101y^{2}-10y-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

Kun luku -24 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$101y^{2}-10y-\left(-24\right)=0$$

Vähennä -24 luvusta 0.

$$101y^{2}-10y+24=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 101, b luvulla -10 ja c luvulla 24 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Korota -10 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 101\times 24}}{2\times 101}$$

Kerro -4 ja 101.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-404\times 24}}{2\times 101}$$

Kerro -404 ja 24.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-9696}}{2\times 101}$$

Lisää 100 lukuun -9696.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-9596}}{2\times 101}$$

Ota luvun -9596 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{2399}i}{2\times 101}$$

Luvun -10 vastaluku on 10.

$$y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{2\times 101}$$

Kerro 2 ja 101.

$$y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 10 lukuun 2i\sqrt{2399}.

$$y=\frac{10+2\sqrt{2399}i}{202}$$

Jaa 10+2i\sqrt{2399} luvulla 202.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{10±2\sqrt{2399}i}{202}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{2399} luvusta 10.

$$y=\frac{-2\sqrt{2399}i+10}{202}$$

Jaa 10-2i\sqrt{2399} luvulla 202.

$$y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101} y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$101y^{2}-10y=-24$$

Jaa molemmat puolet luvulla 101.

$$\frac{101y^{2}-10y}{101}=-\frac{24}{101}$$

Jakaminen luvulla 101 kumoaa kertomisen luvulla 101.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y=-\frac{24}{101}$$

Jaa -\frac{10}{101} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{101}. Lisää sitten -\frac{5}{101}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\left(-\frac{5}{101}\right)^{2}=-\frac{24}{101}+\left(-\frac{5}{101}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{101} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}=-\frac{24}{101}+\frac{25}{10201}$$

Lisää -\frac{24}{101} lukuun \frac{25}{10201} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201}=-\frac{2399}{10201}$$

Jaa y^{2}-\frac{10}{101}y+\frac{25}{10201} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{5}{101}\right)^{2}=-\frac{2399}{10201}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{5}{101}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2399}{10201}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{5}{101}=\frac{\sqrt{2399}i}{101} y-\frac{5}{101}=-\frac{\sqrt{2399}i}{101}$$

Lisää \frac{5}{101} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{5+\sqrt{2399}i}{101} y=\frac{-\sqrt{2399}i+5}{101}$$