Ratkaise 1000x(1+x-002)=108

$$1000x(1+x-002)=108$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2}\approx 0,098331012$$

$$x=-\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2}\approx -1,098331012$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 0 ja 0, niin saadaan 0.

$$1000x\left(1+x-0\times 2\right)=108$$

Kerro 0 ja 2, niin saadaan 0.

$$1000x\left(1+x-0\right)=108$$

Vähennä 108 molemmilta puolilta.

$$1000x\left(1+x-0\right)-108=0$$

Järjestä termit uudelleen.

$$1000x\left(x+1\right)-108=0$$

Laske lukujen 1000x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$1000x^{2}+1000x-108=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1000, b luvulla 1000 ja c luvulla -108 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000^{2}-4\times 1000\left(-108\right)}}{2\times 1000}$$

Korota 1000 neliöön.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-4\times 1000\left(-108\right)}}{2\times 1000}$$

Kerro -4 ja 1000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000-4000\left(-108\right)}}{2\times 1000}$$

Kerro -4000 ja -108.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1000000+432000}}{2\times 1000}$$

Lisää 1000000 lukuun 432000.

$$x=\frac{-1000±\sqrt{1432000}}{2\times 1000}$$

Ota luvun 1432000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1000±40\sqrt{895}}{2\times 1000}$$

Kerro 2 ja 1000.

$$x=\frac{-1000±40\sqrt{895}}{2000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1000±40\sqrt{895}}{2000}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1000 lukuun 40\sqrt{895}.

$$x=\frac{40\sqrt{895}-1000}{2000}$$

Jaa -1000+40\sqrt{895} luvulla 2000.

$$x=\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1000±40\sqrt{895}}{2000}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40\sqrt{895} luvusta -1000.

$$x=\frac{-40\sqrt{895}-1000}{2000}$$

Jaa -1000-40\sqrt{895} luvulla 2000.

$$x=-\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 0 ja 0, niin saadaan 0.

$$1000x\left(1+x-0\times 2\right)=108$$

Kerro 0 ja 2, niin saadaan 0.

$$1000x\left(1+x-0\right)=108$$

Järjestä termit uudelleen.

$$1000x\left(x+1\right)=108$$

Laske lukujen 1000x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$1000x^{2}+1000x=108$$

Jaa molemmat puolet luvulla 1000.

$$\frac{1000x^{2}+1000x}{1000}=\frac{108}{1000}$$

Jakaminen luvulla 1000 kumoaa kertomisen luvulla 1000.

$$x^{2}+\frac{1000}{1000}x=\frac{108}{1000}$$

Jaa 1000 luvulla 1000.

$$x^{2}+x=\frac{108}{1000}$$

Supista murtoluku \frac{108}{1000} luvulla 4.

$$x^{2}+x=\frac{27}{250}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{27}{250}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{27}{250}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{27}{250} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{179}{500}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{179}{500}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{179}{500}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{895}}{50} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{895}}{50}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{895}}{50}-\frac{1}{2}$$