Ratkaise 1000x^2+6125x+125=0

$$1000 { x }^{ 2 } +6125x+125=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}\approx -0,020476619$$

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}\approx -6,104523381$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1000, b luvulla 6125 ja c luvulla 125 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{6125^{2}-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Korota 6125 neliöön.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4\times 1000\times 125}}{2\times 1000}$$

Kerro -4 ja 1000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-4000\times 125}}{2\times 1000}$$

Kerro -4000 ja 125.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37515625-500000}}{2\times 1000}$$

Lisää 37515625 lukuun -500000.

$$x=\frac{-6125±\sqrt{37015625}}{2\times 1000}$$

Ota luvun 37015625 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2\times 1000}$$

Kerro 2 ja 1000.

$$x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6125 lukuun 125\sqrt{2369}.

$$x=\frac{125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Jaa -6125+125\sqrt{2369} luvulla 2000.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6125±125\sqrt{2369}}{2000}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 125\sqrt{2369} luvusta -6125.

$$x=\frac{-125\sqrt{2369}-6125}{2000}$$

Jaa -6125-125\sqrt{2369} luvulla 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+6125x+125=0$$

Vähennä 125 yhtälön molemmilta puolilta.

$$1000x^{2}+6125x+125-125=-125$$

Kun luku 125 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$1000x^{2}+6125x=-125$$

Jaa molemmat puolet luvulla 1000.

$$\frac{1000x^{2}+6125x}{1000}=-\frac{125}{1000}$$

Jakaminen luvulla 1000 kumoaa kertomisen luvulla 1000.

$$x^{2}+\frac{6125}{1000}x=-\frac{125}{1000}$$

Supista murtoluku \frac{6125}{1000} luvulla 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{125}{1000}$$

Supista murtoluku \frac{-125}{1000} luvulla 125.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Jaa \frac{49}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{49}{16}. Lisää sitten \frac{49}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(\frac{49}{16}\right)^{2}$$

Korota \frac{49}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{2401}{256}$$

Lisää -\frac{1}{8} lukuun \frac{2401}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256}=\frac{2369}{256}$$

Jaa x^{2}+\frac{49}{8}x+\frac{2401}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}=\frac{2369}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{49}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2369}{256}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{49}{16}=\frac{\sqrt{2369}}{16} x+\frac{49}{16}=-\frac{\sqrt{2369}}{16}$$

Vähennä \frac{49}{16} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{2369}-49}{16} x=\frac{-\sqrt{2369}-49}{16}$$