Ratkaise 100=x(20-x)

$$100=x(20-x)$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=10$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x ja 20-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$100=20x-x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$20x-x^{2}=100$$

Vähennä 100 molemmilta puolilta.

$$20x-x^{2}-100=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+20x-100=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 20 ja c luvulla -100 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-100\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -100.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-400}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 400 lukuun -400.

$$x=\frac{-20±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{20}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Jaa -20 luvulla -2.

$$x=10$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x ja 20-x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$100=20x-x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$20x-x^{2}=100$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+20x=100$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{100}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{100}{-1}$$

Jaa 20 luvulla -1.

$$x^{2}-20x=\frac{100}{-1}$$

Jaa 100 luvulla -1.

$$x^{2}-20x=-100$$

Jaa -20 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -10. Lisää sitten -10:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-100+\left(-10\right)^{2}$$

Korota -10 neliöön.

$$x^{2}-20x+100=-100+100$$

Lisää -100 lukuun 100.

$$x^{2}-20x+100=0$$

Jaa x^{2}-20x+100 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x-10=0 x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10 x=10$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=10$$