Ratkaise 100x^2-90x+18=0

$$100 x ^ { 2 } - 90 x + 18 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3}{10}=0,3$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$100x^{2}-90x+18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 100, b luvulla -90 ja c luvulla 18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 100\times 18}}{2\times 100}$$

Korota -90 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 100\times 18}}{2\times 100}$$

Kerro -4 ja 100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-400\times 18}}{2\times 100}$$

Kerro -400 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7200}}{2\times 100}$$

Lisää 8100 lukuun -7200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{900}}{2\times 100}$$

Ota luvun 900 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±30}{2\times 100}$$

Luvun -90 vastaluku on 90.

$$x=\frac{90±30}{2\times 100}$$

Kerro 2 ja 100.

$$x=\frac{90±30}{200}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±30}{200}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 90 lukuun 30.

$$x=\frac{120}{200}$$

Supista murtoluku \frac{120}{200} luvulla 40.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{90±30}{200}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 30 luvusta 90.

$$x=\frac{60}{200}$$

Supista murtoluku \frac{60}{200} luvulla 20.

$$x=\frac{3}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{5} x=\frac{3}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$100x^{2}-90x+18=0$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$100x^{2}-90x+18-18=-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$100x^{2}-90x=-18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 100.

$$\frac{100x^{2}-90x}{100}=-\frac{18}{100}$$

Jakaminen luvulla 100 kumoaa kertomisen luvulla 100.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{100}\right)x=-\frac{18}{100}$$

Supista murtoluku \frac{-90}{100} luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{9}{10}x=-\frac{18}{100}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{100} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{9}{10}x=-\frac{9}{50}$$

Jaa -\frac{9}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{20}. Lisää sitten -\frac{9}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{10}x+\left(-\frac{9}{20}\right)^{2}=-\frac{9}{50}+\left(-\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{10}x+\frac{81}{400}=-\frac{9}{50}+\frac{81}{400}$$

Lisää -\frac{9}{50} lukuun \frac{81}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{10}x+\frac{81}{400}=\frac{9}{400}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{10}x+\frac{81}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{9}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{400}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{20}=\frac{3}{20} x-\frac{9}{20}=-\frac{3}{20}$$

Lisää \frac{9}{20} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3}{5} x=\frac{3}{10}$$