Ratkaise 100x^2-50x+18=0

$$100 x ^ { 2 } - 50 x + 18 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4}\approx 0,25+0,34278273i$$

$$x=-\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4}\approx 0,25-0,34278273i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$100x^{2}-50x+18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 100, b luvulla -50 ja c luvulla 18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\times 100\times 18}}{2\times 100}$$

Korota -50 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\times 100\times 18}}{2\times 100}$$

Kerro -4 ja 100.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-400\times 18}}{2\times 100}$$

Kerro -400 ja 18.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-7200}}{2\times 100}$$

Lisää 2500 lukuun -7200.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{-4700}}{2\times 100}$$

Ota luvun -4700 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±10\sqrt{47}i}{2\times 100}$$

Luvun -50 vastaluku on 50.

$$x=\frac{50±10\sqrt{47}i}{2\times 100}$$

Kerro 2 ja 100.

$$x=\frac{50±10\sqrt{47}i}{200}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±10\sqrt{47}i}{200}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 50 lukuun 10i\sqrt{47}.

$$x=\frac{50+10\sqrt{47}i}{200}$$

Jaa 50+10i\sqrt{47} luvulla 200.

$$x=\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{50±10\sqrt{47}i}{200}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10i\sqrt{47} luvusta 50.

$$x=\frac{-10\sqrt{47}i+50}{200}$$

Jaa 50-10i\sqrt{47} luvulla 200.

$$x=-\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$100x^{2}-50x+18=0$$

Vähennä 18 yhtälön molemmilta puolilta.

$$100x^{2}-50x+18-18=-18$$

Kun luku 18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$100x^{2}-50x=-18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 100.

$$\frac{100x^{2}-50x}{100}=-\frac{18}{100}$$

Jakaminen luvulla 100 kumoaa kertomisen luvulla 100.

$$x^{2}+\left(-\frac{50}{100}\right)x=-\frac{18}{100}$$

Supista murtoluku \frac{-50}{100} luvulla 50.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{18}{100}$$

Supista murtoluku \frac{-18}{100} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{50}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{50}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{50}+\frac{1}{16}$$

Lisää -\frac{9}{50} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{47}{400}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{400}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{20} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{20}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4} x=-\frac{\sqrt{47}i}{20}+\frac{1}{4}$$