Ratkaise 100=20t+1/2*98t^2

$$100 = 20 t + \frac { 1 } { 2 } \times 98 t ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{50 \sqrt{2} - 10}{49} \approx 1,238993431$$

$$t=\frac{-50\sqrt{2}-10}{49}\approx -1,647156696$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro \frac{1}{2} ja 98, niin saadaan 49.

$$100=20t+49t^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$20t+49t^{2}=100$$

Vähennä 100 molemmilta puolilta.

$$20t+49t^{2}-100=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$49t^{2}+20t-100=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 49, b luvulla 20 ja c luvulla -100 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 49\left(-100\right)}}{2\times 49}$$

Korota 20 neliöön.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 49\left(-100\right)}}{2\times 49}$$

Kerro -4 ja 49.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-196\left(-100\right)}}{2\times 49}$$

Kerro -196 ja -100.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+19600}}{2\times 49}$$

Lisää 400 lukuun 19600.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20000}}{2\times 49}$$

Ota luvun 20000 neliöjuuri.

$$t=\frac{-20±100\sqrt{2}}{2\times 49}$$

Kerro 2 ja 49.

$$t=\frac{-20±100\sqrt{2}}{98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-20±100\sqrt{2}}{98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 100\sqrt{2}.

$$t=\frac{100\sqrt{2}-20}{98}$$

Jaa -20+100\sqrt{2} luvulla 98.

$$t=\frac{50\sqrt{2}-10}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-20±100\sqrt{2}}{98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 100\sqrt{2} luvusta -20.

$$t=\frac{-100\sqrt{2}-20}{98}$$

Jaa -20-100\sqrt{2} luvulla 98.

$$t=\frac{-50\sqrt{2}-10}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{50\sqrt{2}-10}{49} t=\frac{-50\sqrt{2}-10}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro \frac{1}{2} ja 98, niin saadaan 49.

$$100=20t+49t^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$20t+49t^{2}=100$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}+20t=100$$

Jaa molemmat puolet luvulla 49.

$$\frac{49t^{2}+20t}{49}=\frac{100}{49}$$

Jakaminen luvulla 49 kumoaa kertomisen luvulla 49.

$$t^{2}+\frac{20}{49}t=\frac{100}{49}$$

Jaa \frac{20}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{10}{49}. Lisää sitten \frac{10}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+\frac{20}{49}t+\left(\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{100}{49}+\left(\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Korota \frac{10}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}+\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{100}{49}+\frac{100}{2401}$$

Lisää \frac{100}{49} lukuun \frac{100}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}+\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{5000}{2401}$$

Jaa t^{2}+\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{5000}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5000}{2401}}$$

Sievennä.

$$t+\frac{10}{49}=\frac{50\sqrt{2}}{49} t+\frac{10}{49}=-\frac{50\sqrt{2}}{49}$$

Vähennä \frac{10}{49} yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\frac{50\sqrt{2}-10}{49} t=\frac{-50\sqrt{2}-10}{49}$$