Ratkaise 10y^2-16y+5=0

$$10 y ^ { 2 } - 16 y + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}\approx 1,174165739$$

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}\approx 0,425834261$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10y^{2}-16y+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla -16 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 10\times 5}}{2\times 10}$$

Korota -16 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 10\times 5}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-40\times 5}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja 5.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-200}}{2\times 10}$$

Lisää 256 lukuun -200.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{56}}{2\times 10}$$

Ota luvun 56 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{14}}{2\times 10}$$

Luvun -16 vastaluku on 16.

$$y=\frac{16±2\sqrt{14}}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$y=\frac{16±2\sqrt{14}}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{16±2\sqrt{14}}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 16 lukuun 2\sqrt{14}.

$$y=\frac{2\sqrt{14}+16}{20}$$

Jaa 16+2\sqrt{14} luvulla 20.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{16±2\sqrt{14}}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{14} luvusta 16.

$$y=\frac{16-2\sqrt{14}}{20}$$

Jaa 16-2\sqrt{14} luvulla 20.

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5} y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10y^{2}-16y+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$10y^{2}-16y+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10y^{2}-16y=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10y^{2}-16y}{10}=-\frac{5}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$y^{2}+\left(-\frac{16}{10}\right)y=-\frac{5}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-16}{10} luvulla 2.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y=-\frac{5}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-5}{10} luvulla 5.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y=-\frac{1}{2}$$

Jaa -\frac{8}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{4}{5}. Lisää sitten -\frac{4}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{4}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}=-\frac{1}{2}+\frac{16}{25}$$

Lisää -\frac{1}{2} lukuun \frac{16}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}=\frac{7}{50}$$

Jaa y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{7}{50}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{50}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{14}}{10} y-\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{14}}{10}$$

Lisää \frac{4}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5} y=-\frac{\sqrt{14}}{10}+\frac{4}{5}$$