Ratkaise 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0,05+0,545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0,05-0,545435606i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla -1 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

Lisää 1 lukuun -120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

Ota luvun -119 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{119}.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{119} luvusta 1.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-x+3=0$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10x^{2}-x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

Jaa -\frac{1}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{20}. Lisää sitten -\frac{1}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Lisää -\frac{3}{10} lukuun \frac{1}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

Lisää \frac{1}{20} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$