Ratkaise 10x^2-15x+2=0

$$10 x ^ { 2 } - 15 x + 2 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 1,352079729$$

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}\approx 0,147920271$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla -15 ja c luvulla 2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Korota -15 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-40\times 2}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-80}}{2\times 10}$$

Lisää 225 lukuun -80.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Luvun -15 vastaluku on 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 15 lukuun \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}+15}{20}$$

Jaa 15+\sqrt{145} luvulla 20.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{15±\sqrt{145}}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{145} luvusta 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{145}}{20}$$

Jaa 15-\sqrt{145} luvulla 20.

$$x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-15x+2=0$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$10x^{2}-15x+2-2=-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10x^{2}-15x=-2$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10x^{2}-15x}{10}=-\frac{2}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{10}\right)x=-\frac{2}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-15}{10} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{10}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{10} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{5}$$

Jaa -\frac{3}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{4}. Lisää sitten -\frac{3}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{16}$$

Lisää -\frac{1}{5} lukuun \frac{9}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{29}{80}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{29}{80}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{80}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{145}}{20} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{145}}{20}$$

Lisää \frac{3}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4} x=-\frac{\sqrt{145}}{20}+\frac{3}{4}$$