Ratkaise 10x^2+x=3

$$10 x ^ { 2 } + x = 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3 molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+x-3=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 10x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=1 ab=10\left(-3\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 1.

$$a=-5 b=6$$

Kirjoita \left(10x^{2}-5x\right)+\left(6x-3\right) uudelleen muodossa 10x^{2}+x-3.

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(6x-3\right)$$

Jaa 5x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$5x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-1=0 ja 5x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10x^{2}+x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10x^{2}+x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla 1 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 10}$$

Lisää 1 lukuun 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$x=\frac{-1±11}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±11}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 11.

$$x=\frac{10}{20}$$

Supista murtoluku \frac{10}{20} luvulla 10.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±11}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta -1.

$$x=-\frac{12}{20}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{20} luvulla 4.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10x^{2}+x}{10}=\frac{3}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x=\frac{3}{10}$$

Jaa \frac{1}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{20}. Lisää sitten \frac{1}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\left(\frac{1}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{20}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

Lisää \frac{3}{10} lukuun \frac{1}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=\frac{121}{400}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{20}=\frac{11}{20} x+\frac{1}{20}=-\frac{11}{20}$$

Vähennä \frac{1}{20} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$