Ratkaise 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 10x^{2}+ax+bx-12. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=-8 b=15$$

Kirjoita \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right) uudelleen muodossa 10x^{2}+7x-12.

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Jaa yleinen termi 5x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 5x-4=0 ja 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla 7 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Lisää 49 lukuun 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Ota luvun 529 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±23}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Supista murtoluku \frac{16}{20} luvulla 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±23}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 23 luvusta -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{20} luvulla 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Lisää 12 yhtälön kummallekin puolelle.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Kun luku -12 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Vähennä -12 luvusta 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Supista murtoluku \frac{12}{10} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Jaa \frac{7}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{20}. Lisää sitten \frac{7}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Lisää \frac{6}{5} lukuun \frac{49}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Vähennä \frac{7}{20} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$