Ratkaise 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Jaa tekijöihin

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 10p^{2}+ap+bp+2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 9.

$$a=4 b=5$$

Kirjoita \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right) uudelleen muodossa 10p^{2}+9p+2.

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Ota 2p tekijäksi lausekkeessa 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 5p+2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Korota 9 neliöön.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Lisää 81 lukuun -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-9±1}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{20} luvulla 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö p=\frac{-9±1}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{20} luvulla 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa -\frac{2}{5} kohteella x_{1} ja -\frac{1}{2} kohteella x_{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Lisää \frac{2}{5} lukuun p selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Lisää \frac{1}{2} lukuun p selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Kerro \frac{5p+2}{5} ja \frac{2p+1}{2} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Kerro 5 ja 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Supista lausekkeiden 10 ja 10 suurin yhteinen tekijä 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Laske

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$