Ratkaise 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan k suhteen

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 10k^{2}+ak+bk-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10.

$$-1,10 -2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 9.

$$a=-1 b=10$$

Kirjoita \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) uudelleen muodossa 10k^{2}+9k-1.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Ota k tekijäksi lausekkeessa 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Jaa yleinen termi 10k-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 10k-1=0 ja k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla 9 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Korota 9 neliöön.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Lisää 81 lukuun 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Ota luvun 121 neliöjuuri.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-9±11}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Supista murtoluku \frac{2}{20} luvulla 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö k=\frac{-9±11}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 11 luvusta -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Jaa -20 luvulla 20.

$$k=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Jaa \frac{9}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{20}. Lisää sitten \frac{9}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Lisää \frac{1}{10} lukuun \frac{81}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Jaa k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Sievennä.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Vähennä \frac{9}{20} yhtälön molemmilta puolilta.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$