Ratkaise 10(10+8)=x(3+x)

$$10 ( 10 + 8 ) = x ( 3 + x )$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-15$$

$$x=12$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 18 laskemalla yhteen 10 ja 8.

$$10\times 18=x\left(3+x\right)$$

Kerro 10 ja 18, niin saadaan 180.

$$180=x\left(3+x\right)$$

Laske lukujen x ja 3+x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$180=3x+x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$3x+x^{2}=180$$

Vähennä 180 molemmilta puolilta.

$$3x+x^{2}-180=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 3 ja c luvulla -180 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

Ota luvun 729 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±27}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 27.

$$x=\frac{24}{2}$$

Jaa 24 luvulla 2.

$$x=12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±27}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 27 luvusta -3.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Jaa -30 luvulla 2.

$$x=-15$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=12 x=-15$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 18 laskemalla yhteen 10 ja 8.

$$10\times 18=x\left(3+x\right)$$

Kerro 10 ja 18, niin saadaan 180.

$$180=x\left(3+x\right)$$

Laske lukujen x ja 3+x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$180=3x+x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$3x+x^{2}=180$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x=180$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Lisää 180 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=12 x=-15$$