Ratkaise 10x^2-7x-3=0

$$10 { x }^{ 2 } -7x-3=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{10}=-0,3$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 10x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-7 ab=10\left(-3\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -7.

$$a=-10 b=3$$

Kirjoita \left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right) uudelleen muodossa 10x^{2}-7x-3.

$$\left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right)$$

Jaa 10x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$10x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(10x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 10x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla -7 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 10}$$

Lisää 49 lukuun 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 10}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$x=\frac{7±13}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±13}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 13.

$$x=\frac{20}{20}$$

Jaa 20 luvulla 20.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±13}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta 7.

$$x=-\frac{6}{20}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{20} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$10x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$10x^{2}-7x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10x^{2}-7x}{10}=\frac{3}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x=\frac{3}{10}$$

Jaa -\frac{7}{10} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{20}. Lisää sitten -\frac{7}{20}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{20} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{3}{10}+\frac{49}{400}$$

Lisää \frac{3}{10} lukuun \frac{49}{400} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{169}{400}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{169}{400}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{400}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{20}=\frac{13}{20} x-\frac{7}{20}=-\frac{13}{20}$$

Lisää \frac{7}{20} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$