Ratkaise 10x^2+72x-64=0

$$10 { x }^{ 2 } +72x-64=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-8$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$5x^{2}+36x-32=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 5x^{2}+ax+bx-32. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=36 ab=5\left(-32\right)=-160$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -160.

$$-1,160 -2,80 -4,40 -5,32 -8,20 -10,16$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+160=159 -2+80=78 -4+40=36 -5+32=27 -8+20=12 -10+16=6$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 36.

$$a=-4 b=40$$

Kirjoita \left(5x^{2}-4x\right)+\left(40x-32\right) uudelleen muodossa 5x^{2}+36x-32.

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(40x-32\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 8.

$$x\left(5x-4\right)+8\left(5x-4\right)$$

Jaa yleinen termi 5x-4 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(5x-4\right)\left(x+8\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 5x-4=0 ja x+8=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$10x^{2}+72x-64=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 10, b luvulla 72 ja c luvulla -64 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 10\left(-64\right)}}{2\times 10}$$

Korota 72 neliöön.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 10\left(-64\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -4 ja 10.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-40\left(-64\right)}}{2\times 10}$$

Kerro -40 ja -64.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184+2560}}{2\times 10}$$

Lisää 5184 lukuun 2560.

$$x=\frac{-72±\sqrt{7744}}{2\times 10}$$

Ota luvun 7744 neliöjuuri.

$$x=\frac{-72±88}{2\times 10}$$

Kerro 2 ja 10.

$$x=\frac{-72±88}{20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-72±88}{20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -72 lukuun 88.

$$x=\frac{16}{20}$$

Supista murtoluku \frac{16}{20} luvulla 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-72±88}{20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 88 luvusta -72.

$$x=-\frac{160}{20}$$

Jaa -160 luvulla 20.

$$x=-8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{4}{5} x=-8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+72x-64=0$$

Lisää 64 yhtälön kummallekin puolelle.

$$10x^{2}+72x-64-\left(-64\right)=-\left(-64\right)$$

Kun luku -64 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$10x^{2}+72x=-\left(-64\right)$$

Vähennä -64 luvusta 0.

$$10x^{2}+72x=64$$

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$\frac{10x^{2}+72x}{10}=\frac{64}{10}$$

Jakaminen luvulla 10 kumoaa kertomisen luvulla 10.

$$x^{2}+\frac{72}{10}x=\frac{64}{10}$$

Supista murtoluku \frac{72}{10} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x=\frac{64}{10}$$

Supista murtoluku \frac{64}{10} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x=\frac{32}{5}$$

Jaa \frac{36}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{18}{5}. Lisää sitten \frac{18}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{32}{5}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}$$

Korota \frac{18}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}=\frac{32}{5}+\frac{324}{25}$$

Lisää \frac{32}{5} lukuun \frac{324}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}=\frac{484}{25}$$

Jaa x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{18}{5}=\frac{22}{5} x+\frac{18}{5}=-\frac{22}{5}$$

Vähennä \frac{18}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{4}{5} x=-8$$