Ratkaise 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Selvitä 7x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -3x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Selvitä 20x yhdistämällä 10x ja 10x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Vähennä 11 molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Vähennä 11 luvusta 8 saadaksesi tuloksen -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 7x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -21.

$$-1,21 -3,7$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 20.

$$a=-1 b=21$$

Kirjoita \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right) uudelleen muodossa 7x^{2}+20x-3.

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 3 toisessa ryhmässä.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 7x-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 7x-1=0 ja x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Selvitä 7x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -3x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Selvitä 20x yhdistämällä 10x ja 10x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Vähennä 11 molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Vähennä 11 luvusta 8 saadaksesi tuloksen -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 7, b luvulla 20 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -4 ja 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Kerro -28 ja -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Lisää 400 lukuun 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Ota luvun 484 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Kerro 2 ja 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±22}{14}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Supista murtoluku \frac{2}{14} luvulla 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±22}{14}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 22 luvusta -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Jaa -42 luvulla 14.

$$x=-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Selvitä 7x^{2} yhdistämällä 10x^{2} ja -3x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Lisää 10x molemmille puolille.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Selvitä 20x yhdistämällä 10x ja 10x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Vähennä 8 molemmilta puolilta.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Vähennä 8 luvusta 11 saadaksesi tuloksen 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Jakaminen luvulla 7 kumoaa kertomisen luvulla 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Jaa \frac{20}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{10}{7}. Lisää sitten \frac{10}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Korota \frac{10}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Lisää \frac{3}{7} lukuun \frac{100}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Jaa x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Vähennä \frac{10}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$