Ratkaise 10^2+x^2=8^2-(12-x)^2

$$10 ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 ^ { 2 } - ( 12 - x ) ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=6+3\sqrt{6}i\approx 6+7,348469228i$$

$$x=-3\sqrt{6}i+6\approx 6-7,348469228i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 10 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Laske 8 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(12-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 144-24x+x^{2} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Vähennä 144 luvusta 64 saadaksesi tuloksen -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Vähennä -80 molemmilta puolilta.

$$100+x^{2}-\left(-80\right)=24x-x^{2}$$

Luvun -80 vastaluku on 80.

$$100+x^{2}+80=24x-x^{2}$$

Vähennä 24x molemmilta puolilta.

$$100+x^{2}+80-24x=-x^{2}$$

Selvitä 180 laskemalla yhteen 100 ja 80.

$$180+x^{2}-24x=-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$180+x^{2}-24x+x^{2}=0$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$180+2x^{2}-24x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-24x+180=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -24 ja c luvulla 180 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Korota -24 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 180}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 180}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 180.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-1440}}{2\times 2}$$

Lisää 576 lukuun -1440.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-864}}{2\times 2}$$

Ota luvun -864 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 12i\sqrt{6}.

$$x=\frac{24+12\sqrt{6}i}{4}$$

Jaa 24+12i\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=6+3\sqrt{6}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±12\sqrt{6}i}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12i\sqrt{6} luvusta 24.

$$x=\frac{-12\sqrt{6}i+24}{4}$$

Jaa 24-12i\sqrt{6} luvulla 4.

$$x=-3\sqrt{6}i+6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 10 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 100.

$$100+x^{2}=8^{2}-\left(12-x\right)^{2}$$

Laske 8 potenssiin 2, jolloin ratkaisuksi tulee 64.

$$100+x^{2}=64-\left(12-x\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(12-x\right)^{2} laajentamiseen.

$$100+x^{2}=64-\left(144-24x+x^{2}\right)$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 144-24x+x^{2} vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$100+x^{2}=64-144+24x-x^{2}$$

Vähennä 144 luvusta 64 saadaksesi tuloksen -80.

$$100+x^{2}=-80+24x-x^{2}$$

Vähennä 24x molemmilta puolilta.

$$100+x^{2}-24x=-80-x^{2}$$

Lisää x^{2} molemmille puolille.

$$100+x^{2}-24x+x^{2}=-80$$

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$100+2x^{2}-24x=-80$$

Vähennä 100 molemmilta puolilta.

$$2x^{2}-24x=-80-100$$

Vähennä 100 luvusta -80 saadaksesi tuloksen -180.

$$2x^{2}-24x=-180$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{180}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{180}{2}$$

Jaa -24 luvulla 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{180}{2}$$

Jaa -180 luvulla 2.

$$x^{2}-12x=-90$$

Jaa -12 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -6. Lisää sitten -6:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-90+\left(-6\right)^{2}$$

Korota -6 neliöön.

$$x^{2}-12x+36=-90+36$$

Lisää -90 lukuun 36.

$$x^{2}-12x+36=-54$$

Jaa x^{2}-12x+36 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=-54$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{-54}$$

Sievennä.

$$x-6=3\sqrt{6}i x-6=-3\sqrt{6}i$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6+3\sqrt{6}i x=-3\sqrt{6}i+6$$