Ratkaise 1+x+x^2=7/4

$$1 + x + x ^ { 2 } = \frac { 7 } { 4 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}+x+1=\frac{7}{4}$$

Vähennä \frac{7}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+x+1-\frac{7}{4}=\frac{7}{4}-\frac{7}{4}$$

Kun luku \frac{7}{4} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+x+1-\frac{7}{4}=0$$

Vähennä \frac{7}{4} luvusta 1.

$$x^{2}+x-\frac{3}{4}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 1 ja c luvulla -\frac{3}{4} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -\frac{3}{4}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+3}}{2}$$

Lisää 1 lukuun 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{4}}{2}$$

Ota luvun 4 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±2}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±2}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±2}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2 luvusta -1.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=\frac{7}{4}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}+x+1-1=\frac{7}{4}-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}+x=\frac{7}{4}-1$$

Vähennä 1 luvusta \frac{7}{4}.

$$x^{2}+x=\frac{3}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=1$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=1 x+\frac{1}{2}=-1$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$