Ratkaise 0=-4x^2+4x+1

$$0=-4 { x }^{ 2 } +4x+1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} \approx 1,207106781$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}\approx -0,207106781$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 16 lukuun 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 32 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Jaa -4+4\sqrt{2} luvulla -8.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{2} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{-8}$$

Jaa -4-4\sqrt{2} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{2} x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-4x^{2}+4x+1=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-4x^{2}+4x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+4x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{4}{-4}x=-\frac{1}{-4}$$

Jaa 4 luvulla -4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-4}$$

Jaa -1 luvulla -4.

$$x^{2}-x=\frac{1}{4}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$