Ratkaise 0=y^2+6y-14

$$0 = y ^ { 2 } + 6 y - 14$$

Ratkaise muuttujan y suhteen (complex solution)

$$y=\sqrt{23}-3\approx 1,795831523$$

$$y=-\left(\sqrt{23}+3\right)\approx -7,795831523$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$y^{2}+6y-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+56}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 56.

$$y=\frac{-6±\sqrt{92}}{2}$$

Ota luvun 92 neliöjuuri.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{23}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-6±2\sqrt{23}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{23}.

$$y=\frac{2\sqrt{23}-6}{2}$$

Jaa -6+2\sqrt{23} luvulla 2.

$$y=\sqrt{23}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-6±2\sqrt{23}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{23} luvusta -6.

$$y=\frac{-2\sqrt{23}-6}{2}$$

Jaa -6-2\sqrt{23} luvulla 2.

$$y=-\sqrt{23}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\sqrt{23}-3 y=-\sqrt{23}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$y^{2}+6y-14=0$$

Lisää 14 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$y^{2}+6y=14$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+6y+3^{2}=14+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$y^{2}+6y+9=14+9$$

Lisää 14 lukuun 9.

$$y^{2}+6y+9=23$$

Jaa y^{2}+6y+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+3\right)^{2}=23$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+3\right)^{2}}=\sqrt{23}$$

Sievennä.

$$y+3=\sqrt{23} y+3=-\sqrt{23}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\sqrt{23}-3 y=-\sqrt{23}-3$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\sqrt{23}-3\approx 1,795831523$$

$$y=-\sqrt{23}-3\approx -7,795831523$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$y^{2}+6y-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla 6 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Korota 6 neliöön.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -14.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+56}}{2}$$

Lisää 36 lukuun 56.

$$y=\frac{-6±\sqrt{92}}{2}$$

Ota luvun 92 neliöjuuri.

$$y=\frac{-6±2\sqrt{23}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-6±2\sqrt{23}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 2\sqrt{23}.

$$y=\frac{2\sqrt{23}-6}{2}$$

Jaa -6+2\sqrt{23} luvulla 2.

$$y=\sqrt{23}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-6±2\sqrt{23}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{23} luvusta -6.

$$y=\frac{-2\sqrt{23}-6}{2}$$

Jaa -6-2\sqrt{23} luvulla 2.

$$y=-\sqrt{23}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\sqrt{23}-3 y=-\sqrt{23}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$y^{2}+6y-14=0$$

Lisää 14 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$y^{2}+6y=14$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+6y+3^{2}=14+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$y^{2}+6y+9=14+9$$

Lisää 14 lukuun 9.

$$y^{2}+6y+9=23$$

Jaa y^{2}+6y+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+3\right)^{2}=23$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+3\right)^{2}}=\sqrt{23}$$

Sievennä.

$$y+3=\sqrt{23} y+3=-\sqrt{23}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\sqrt{23}-3 y=-\sqrt{23}-3$$