Ratkaise 0=x^2-4x+4+5

$$0 = x ^ { 2 } - 4 x + 4 + 5$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+\sqrt{5}i\approx 2+2,236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+2\approx 2-2,236067977i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 9 laskemalla yhteen 4 ja 5.

$$0=x^{2}-4x+9$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$x^{2}-4x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -4 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9}}{2}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36}}{2}$$

Lisää 16 lukuun -36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

Ota luvun -20 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{2}$$

Jaa 4+2i\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=2+\sqrt{5}i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{5} luvusta 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{2}$$

Jaa 4-2i\sqrt{5} luvulla 2.

$$x=-\sqrt{5}i+2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 9 laskemalla yhteen 4 ja 5.

$$0=x^{2}-4x+9$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$x^{2}-4x+9=0$$

Vähennä 9 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$x^{2}-4x=-9$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-9+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-9+4$$

Lisää -9 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-5$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-5$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

Sievennä.

$$x-2=\sqrt{5}i x-2=-\sqrt{5}i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+2$$