Ratkaise 0=9x^2-9x+8

$$0 = 9 x ^ { 2 } - 9 x + 8$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,5+0,799305254i$$

$$x=-\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2}\approx 0,5-0,799305254i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$9x^{2}-9x+8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 9, b luvulla -9 ja c luvulla 8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 9\times 8}}{2\times 9}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 9\times 8}}{2\times 9}$$

Kerro -4 ja 9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-36\times 8}}{2\times 9}$$

Kerro -36 ja 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-288}}{2\times 9}$$

Lisää 81 lukuun -288.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-207}}{2\times 9}$$

Ota luvun -207 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±3\sqrt{23}i}{2\times 9}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±3\sqrt{23}i}{2\times 9}$$

Kerro 2 ja 9.

$$x=\frac{9±3\sqrt{23}i}{18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±3\sqrt{23}i}{18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun 3i\sqrt{23}.

$$x=\frac{9+3\sqrt{23}i}{18}$$

Jaa 9+3i\sqrt{23} luvulla 18.

$$x=\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±3\sqrt{23}i}{18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{23} luvusta 9.

$$x=\frac{-3\sqrt{23}i+9}{18}$$

Jaa 9-3i\sqrt{23} luvulla 18.

$$x=-\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$9x^{2}-9x+8=0$$

Vähennä 8 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$9x^{2}-9x=-8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$\frac{9x^{2}-9x}{9}=-\frac{8}{9}$$

Jakaminen luvulla 9 kumoaa kertomisen luvulla 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{9}\right)x=-\frac{8}{9}$$

Jaa -9 luvulla 9.

$$x^{2}-x=-\frac{8}{9}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{8}{9}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{8}{9}+\frac{1}{4}$$

Lisää -\frac{8}{9} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{36}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{23}i}{6}+\frac{1}{2}$$