Ratkaise 0=4x^2-9x+14

$$0 = 4 x ^ { 2 } - 9 x + 14$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8}\approx 1,125+1,494782593i$$

$$x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}\approx 1,125-1,494782593i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4x^{2}-9x+14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -9 ja c luvulla 14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Korota -9 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\times 14}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-224}}{2\times 4}$$

Lisää 81 lukuun -224.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-143}}{2\times 4}$$

Ota luvun -143 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{143}i}{2\times 4}$$

Luvun -9 vastaluku on 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{143}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{9±\sqrt{143}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{143}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 9 lukuun i\sqrt{143}.

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{9±\sqrt{143}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{143} luvusta 9.

$$x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8} x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$4x^{2}-9x+14=0$$

Vähennä 14 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$4x^{2}-9x=-14$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-14}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Jaa -\frac{9}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{8}. Lisää sitten -\frac{9}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{64}$$

Lisää -\frac{7}{2} lukuun \frac{81}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=-\frac{143}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=-\frac{143}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{143}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{143}i}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{143}i}{8}$$

Lisää \frac{9}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9+\sqrt{143}i}{8} x=\frac{-\sqrt{143}i+9}{8}$$