Ratkaise 0=-3x^2+x-4?

$$0 = - 3 x ^ { 2 } + x - 4 ?$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+1}{6}\approx 0,166666667-1,1426091i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{47}i}{6}\approx 0,166666667+1,1426091i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-3x^{2}+x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 1 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 1 neliöön.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-48}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 1 lukuun -48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-47}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun -47 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{47}i}{-6}$$

Jaa -1+i\sqrt{47} luvulla -6.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1±\sqrt{47}i}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{47} luvusta -1.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-1}{-6}$$

Jaa -1-i\sqrt{47} luvulla -6.

$$x=\frac{1+\sqrt{47}i}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i+1}{6} x=\frac{1+\sqrt{47}i}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-3x^{2}+x-4=0$$

Lisää 4 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-3x^{2}+x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Jaa 1 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Jaa 4 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{6}. Lisää sitten -\frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{1}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{47}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{47}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{47}i}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{47}i}{6}$$

Lisää \frac{1}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i+1}{6}$$