Ratkaise -500000x^2+45x-9*10^-6=0

$$-500000 { x }^{ 2 } +45x-9 \times { 10 }^{ -6 } = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000}\approx 0,0000898$$

$$x=-\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000}\approx 0,0000002$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske 10 potenssiin -6, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{1000000}.

$$-500000x^{2}+45x-9\times \frac{1}{1000000}=0$$

Kerro 9 ja \frac{1}{1000000}, niin saadaan \frac{9}{1000000}.

$$-500000x^{2}+45x-\frac{9}{1000000}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -500000, b luvulla 45 ja c luvulla -\frac{9}{1000000} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-500000\right)\left(-\frac{9}{1000000}\right)}}{2\left(-500000\right)}$$

Korota 45 neliöön.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-500000\right)\left(-\frac{9}{1000000}\right)}}{2\left(-500000\right)}$$

Kerro -4 ja -500000.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+2000000\left(-\frac{9}{1000000}\right)}}{2\left(-500000\right)}$$

Kerro 2000000 ja -\frac{9}{1000000}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-18}}{2\left(-500000\right)}$$

Lisää 2025 lukuun -18.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2007}}{2\left(-500000\right)}$$

Ota luvun 2007 neliöjuuri.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{223}}{2\left(-500000\right)}$$

Kerro 2 ja -500000.

$$x=\frac{-45±3\sqrt{223}}{-1000000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±3\sqrt{223}}{-1000000}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -45 lukuun 3\sqrt{223}.

$$x=\frac{3\sqrt{223}-45}{-1000000}$$

Jaa -45+3\sqrt{223} luvulla -1000000.

$$x=-\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±3\sqrt{223}}{-1000000}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3\sqrt{223} luvusta -45.

$$x=\frac{-3\sqrt{223}-45}{-1000000}$$

Jaa -45-3\sqrt{223} luvulla -1000000.

$$x=\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000} x=\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske 10 potenssiin -6, jolloin ratkaisuksi tulee \frac{1}{1000000}.

$$-500000x^{2}+45x-9\times \frac{1}{1000000}=0$$

Kerro 9 ja \frac{1}{1000000}, niin saadaan \frac{9}{1000000}.

$$-500000x^{2}+45x-\frac{9}{1000000}=0$$

Lisää \frac{9}{1000000} molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-500000x^{2}+45x=\frac{9}{1000000}$$

Jaa molemmat puolet luvulla -500000.

$$\frac{-500000x^{2}+45x}{-500000}=\frac{\frac{9}{1000000}}{-500000}$$

Jakaminen luvulla -500000 kumoaa kertomisen luvulla -500000.

$$x^{2}+\frac{45}{-500000}x=\frac{\frac{9}{1000000}}{-500000}$$

Supista murtoluku \frac{45}{-500000} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{9}{100000}x=\frac{\frac{9}{1000000}}{-500000}$$

Jaa \frac{9}{1000000} luvulla -500000.

$$x^{2}-\frac{9}{100000}x=-\frac{9}{500000000000}$$

Jaa -\frac{9}{100000} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{200000}. Lisää sitten -\frac{9}{200000}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{100000}x+\left(-\frac{9}{200000}\right)^{2}=-\frac{9}{500000000000}+\left(-\frac{9}{200000}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{200000} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{100000}x+\frac{81}{40000000000}=-\frac{9}{500000000000}+\frac{81}{40000000000}$$

Lisää -\frac{9}{500000000000} lukuun \frac{81}{40000000000} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{100000}x+\frac{81}{40000000000}=\frac{2007}{1000000000000}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{100000}x+\frac{81}{40000000000} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{200000}\right)^{2}=\frac{2007}{1000000000000}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{200000}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2007}{1000000000000}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{200000}=\frac{3\sqrt{223}}{1000000} x-\frac{9}{200000}=-\frac{3\sqrt{223}}{1000000}$$

Lisää \frac{9}{200000} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000} x=-\frac{3\sqrt{223}}{1000000}+\frac{9}{200000}$$