Ratkaise -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 20 ja c luvulla -47 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 20 neliöön.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 400 lukuun -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun -352 neliöjuuri.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -20 lukuun 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Jaa -20+4i\sqrt{22} luvulla -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{22} luvusta -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Jaa -20-4i\sqrt{22} luvulla -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Lisää 47 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Kun luku -47 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Vähennä -47 luvusta 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Jaa 20 luvulla -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Jaa 47 luvulla -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Lisää -\frac{47}{4} lukuun \frac{25}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$