Ratkaise -3x^2+15x=-2x+10

$$-3 { x }^{ 2 } +15x=-2x+10$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 2x molemmille puolille.

$$-3x^{2}+15x+2x=10$$

Selvitä 17x yhdistämällä 15x ja 2x.

$$-3x^{2}+17x=10$$

Vähennä 10 molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}+17x-10=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -3x^{2}+ax+bx-10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=17 ab=-3\left(-10\right)=30$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 17.

$$a=15 b=2$$

Kirjoita \left(-3x^{2}+15x\right)+\left(2x-10\right) uudelleen muodossa -3x^{2}+17x-10.

$$\left(-3x^{2}+15x\right)+\left(2x-10\right)$$

Jaa 3x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -2.

$$3x\left(-x+5\right)-2\left(-x+5\right)$$

Jaa yleinen termi -x+5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+5\right)\left(3x-2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+5=0 ja 3x-2=0.

$$x=5 x=\frac{2}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 2x molemmille puolille.

$$-3x^{2}+15x+2x=10$$

Selvitä 17x yhdistämällä 15x ja 2x.

$$-3x^{2}+17x=10$$

Vähennä 10 molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}+17x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 17 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 17 neliöön.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-3\right)\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+12\left(-10\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 289 lukuun -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun 169 neliöjuuri.

$$x=\frac{-17±13}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-17±13}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±13}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -17 lukuun 13.

$$x=-\frac{4}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{-6} luvulla 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-17±13}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 13 luvusta -17.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Jaa -30 luvulla -6.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{2}{3} x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 2x molemmille puolille.

$$-3x^{2}+15x+2x=10$$

Selvitä 17x yhdistämällä 15x ja 2x.

$$-3x^{2}+17x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+17x}{-3}=\frac{10}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{17}{-3}x=\frac{10}{-3}$$

Jaa 17 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{17}{3}x=\frac{10}{-3}$$

Jaa 10 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Jaa -\frac{17}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{17}{6}. Lisää sitten -\frac{17}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{17}{3}x+\left(-\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{17}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Lisää -\frac{10}{3} lukuun \frac{289}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Lisää \frac{17}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=\frac{2}{3}$$