Ratkaise -20x^2+520x-3200=0

$$-20 { x }^{ 2 } +520x-3200=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=10$$

$$x=16$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-20x^{2}+520x-3200=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -20, b luvulla 520 ja c luvulla -3200 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-520±\sqrt{520^{2}-4\left(-20\right)\left(-3200\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Korota 520 neliöön.

$$x=\frac{-520±\sqrt{270400-4\left(-20\right)\left(-3200\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro -4 ja -20.

$$x=\frac{-520±\sqrt{270400+80\left(-3200\right)}}{2\left(-20\right)}$$

Kerro 80 ja -3200.

$$x=\frac{-520±\sqrt{270400-256000}}{2\left(-20\right)}$$

Lisää 270400 lukuun -256000.

$$x=\frac{-520±\sqrt{14400}}{2\left(-20\right)}$$

Ota luvun 14400 neliöjuuri.

$$x=\frac{-520±120}{2\left(-20\right)}$$

Kerro 2 ja -20.

$$x=\frac{-520±120}{-40}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-520±120}{-40}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -520 lukuun 120.

$$x=-\frac{400}{-40}$$

Jaa -400 luvulla -40.

$$x=10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-520±120}{-40}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 120 luvusta -520.

$$x=-\frac{640}{-40}$$

Jaa -640 luvulla -40.

$$x=16$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10 x=16$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-20x^{2}+520x-3200=0$$

Lisää 3200 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-20x^{2}+520x-3200-\left(-3200\right)=-\left(-3200\right)$$

Kun luku -3200 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-20x^{2}+520x=-\left(-3200\right)$$

Vähennä -3200 luvusta 0.

$$-20x^{2}+520x=3200$$

Jaa molemmat puolet luvulla -20.

$$\frac{-20x^{2}+520x}{-20}=\frac{3200}{-20}$$

Jakaminen luvulla -20 kumoaa kertomisen luvulla -20.

$$x^{2}+\frac{520}{-20}x=\frac{3200}{-20}$$

Jaa 520 luvulla -20.

$$x^{2}-26x=\frac{3200}{-20}$$

Jaa 3200 luvulla -20.

$$x^{2}-26x=-160$$

Jaa -26 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -13. Lisää sitten -13:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-26x+\left(-13\right)^{2}=-160+\left(-13\right)^{2}$$

Korota -13 neliöön.

$$x^{2}-26x+169=-160+169$$

Lisää -160 lukuun 169.

$$x^{2}-26x+169=9$$

Jaa x^{2}-26x+169 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-13\right)^{2}=9$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-13\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sievennä.

$$x-13=3 x-13=-3$$

Lisää 13 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=16 x=10$$