Ratkaise -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0,03125+0,248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0,03125-0,248039185i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -144, b luvulla 9 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Kerro -4 ja -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

Kerro 576 ja -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

Lisää 81 lukuun -5184.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

Ota luvun -5103 neliöjuuri.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

Kerro 2 ja -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun 27i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

Jaa -9+27i\sqrt{7} luvulla -288.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 27i\sqrt{7} luvusta -9.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

Jaa -9-27i\sqrt{7} luvulla -288.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

Lisää 9 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kun luku -9 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

Vähennä -9 luvusta 0.

$$-144x^{2}+9x=9$$

Jaa molemmat puolet luvulla -144.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

Jakaminen luvulla -144 kumoaa kertomisen luvulla -144.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

Supista murtoluku \frac{9}{-144} luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

Supista murtoluku \frac{9}{-144} luvulla 9.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

Jaa -\frac{1}{16} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{32}. Lisää sitten -\frac{1}{32}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{32} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

Lisää -\frac{1}{16} lukuun \frac{1}{1024} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

Lisää \frac{1}{32} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$