Ratkaise -112=x^2+x^2-32x

$$-112= { x }^{ 2 } + { x }^{ 2 } -32x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{2}+8\approx 10,828427125$$

$$x=8-2\sqrt{2}\approx 5,171572875$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$-112=2x^{2}-32x$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$2x^{2}-32x=-112$$

Lisää 112 molemmille puolille.

$$2x^{2}-32x+112=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -32 ja c luvulla 112 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 112}}{2\times 2}$$

Korota -32 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 112}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 112}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 112.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-896}}{2\times 2}$$

Lisää 1024 lukuun -896.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{128}}{2\times 2}$$

Ota luvun 128 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{2}}{2\times 2}$$

Luvun -32 vastaluku on 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{2}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{32±8\sqrt{2}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±8\sqrt{2}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 32 lukuun 8\sqrt{2}.

$$x=\frac{8\sqrt{2}+32}{4}$$

Jaa 32+8\sqrt{2} luvulla 4.

$$x=2\sqrt{2}+8$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{32±8\sqrt{2}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{2} luvusta 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{2}}{4}$$

Jaa 32-8\sqrt{2} luvulla 4.

$$x=8-2\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2\sqrt{2}+8 x=8-2\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 2x^{2} yhdistämällä x^{2} ja x^{2}.

$$-112=2x^{2}-32x$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$2x^{2}-32x=-112$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-32x}{2}=-\frac{112}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{2}\right)x=-\frac{112}{2}$$

Jaa -32 luvulla 2.

$$x^{2}-16x=-\frac{112}{2}$$

Jaa -112 luvulla 2.

$$x^{2}-16x=-56$$

Jaa -16 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -8. Lisää sitten -8:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-56+\left(-8\right)^{2}$$

Korota -8 neliöön.

$$x^{2}-16x+64=-56+64$$

Lisää -56 lukuun 64.

$$x^{2}-16x+64=8$$

Jaa x^{2}-16x+64 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=8$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{8}$$

Sievennä.

$$x-8=2\sqrt{2} x-8=-2\sqrt{2}$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2\sqrt{2}+8 x=8-2\sqrt{2}$$