Ratkaise -110=37587x+-491x^2

$$-110 = 37587x+-491 { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{1412998609} + 37587}{982} \approx 76,554861259$$

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}\approx -0,002926432$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Lisää 110 molemmille puolille.

$$37587x-491x^{2}+110=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-491x^{2}+37587x+110=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -491, b luvulla 37587 ja c luvulla 110 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{37587^{2}-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Korota 37587 neliöön.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569-4\left(-491\right)\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Kerro -4 ja -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+1964\times 110}}{2\left(-491\right)}$$

Kerro 1964 ja 110.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412782569+216040}}{2\left(-491\right)}$$

Lisää 1412782569 lukuun 216040.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{2\left(-491\right)}$$

Kerro 2 ja -491.

$$x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -37587 lukuun \sqrt{1412998609}.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

Jaa -37587+\sqrt{1412998609} luvulla -982.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-37587±\sqrt{1412998609}}{-982}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{1412998609} luvusta -37587.

$$x=\frac{-\sqrt{1412998609}-37587}{-982}$$

Jaa -37587-\sqrt{1412998609} luvulla -982.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982} x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$37587x-491x^{2}=-110$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-491x^{2}+37587x=-110$$

Jaa molemmat puolet luvulla -491.

$$\frac{-491x^{2}+37587x}{-491}=-\frac{110}{-491}$$

Jakaminen luvulla -491 kumoaa kertomisen luvulla -491.

$$x^{2}+\frac{37587}{-491}x=-\frac{110}{-491}$$

Jaa 37587 luvulla -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=-\frac{110}{-491}$$

Jaa -110 luvulla -491.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x=\frac{110}{491}$$

Jaa -\frac{37587}{491} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{37587}{982}. Lisää sitten -\frac{37587}{982}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{110}{491}+\left(-\frac{37587}{982}\right)^{2}$$

Korota -\frac{37587}{982} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{110}{491}+\frac{1412782569}{964324}$$

Lisää \frac{110}{491} lukuun \frac{1412782569}{964324} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324}=\frac{1412998609}{964324}$$

Jaa x^{2}-\frac{37587}{491}x+\frac{1412782569}{964324} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}=\frac{1412998609}{964324}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{37587}{982}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1412998609}{964324}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{37587}{982}=\frac{\sqrt{1412998609}}{982} x-\frac{37587}{982}=-\frac{\sqrt{1412998609}}{982}$$

Lisää \frac{37587}{982} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{1412998609}+37587}{982} x=\frac{37587-\sqrt{1412998609}}{982}$$