Ratkaise -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -1 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 1 lukuun -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -3 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Jaa 1+i\sqrt{3} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{3} luvusta 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Jaa 1-i\sqrt{3} luvulla -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Jaa -1 luvulla -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$