Ratkaise -x^2-5x=-1/2x+2

$$- x ^ { 2 } - 5 x = - \frac { 1 } { 2 } x + 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää \frac{1}{2}x molemmille puolille.

$$-x^{2}-5x+\frac{1}{2}x=2$$

Selvitä -\frac{9}{2}x yhdistämällä -5x ja \frac{1}{2}x.

$$-x^{2}-\frac{9}{2}x=2$$

Vähennä 2 molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-\frac{9}{2}x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -\frac{9}{2} ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{81}{4}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{81}{4}+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{81}{4}-8}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää \frac{81}{4} lukuun -8.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\sqrt{\frac{49}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun \frac{49}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{9}{2}\right)±\frac{7}{2}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -\frac{9}{2} vastaluku on \frac{9}{2}.

$$x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{7}{2}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{7}{2}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{7}{2}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{9}{2} lukuun \frac{7}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{8}{-2}$$

Jaa 8 luvulla -2.

$$x=-4$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{9}{2}±\frac{7}{2}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{7}{2} luvusta \frac{9}{2} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{1}{-2}$$

Jaa 1 luvulla -2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-4 x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää \frac{1}{2}x molemmille puolille.

$$-x^{2}-5x+\frac{1}{2}x=2$$

Selvitä -\frac{9}{2}x yhdistämällä -5x ja \frac{1}{2}x.

$$-x^{2}-\frac{9}{2}x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-\frac{9}{2}x}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{9}{2}}{-1}\right)x=\frac{2}{-1}$$

Jaa -\frac{9}{2} luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{2}{-1}$$

Jaa 2 luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-2$$

Jaa \frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{4}. Lisää sitten \frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-2+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-2+\frac{81}{16}$$

Lisää -2 lukuun \frac{81}{16}.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{49}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{7}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-4$$