Ratkaise -x^2-5x+4=0

$$- x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}\approx 0,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}\approx -5,701562119$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-5x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -5 ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 25 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{41}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{-2}$$

Jaa 5+\sqrt{41} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{41}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{-2}$$

Jaa 5-\sqrt{41} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{\sqrt{41}-5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-5x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-5x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-5x=-4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -5 luvulla -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{4}{-1}$$

Jaa -4 luvulla -1.

$$x^{2}+5x=4$$

Jaa 5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{2}. Lisää sitten \frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=4+\frac{25}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{41}{4}$$

Jaa x^{2}+5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Vähennä \frac{5}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{41}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-5}{2}$$