Ratkaise -x^2-14x-45=0

$$- x ^ { 2 } - 14 x - 45 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-9$$

$$x=-5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-45. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-14 ab=-\left(-45\right)=45$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on negatiivinen, a ja b ovat molemmat negatiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 45.

$$-1,-45 -3,-15 -5,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1-45=-46 -3-15=-18 -5-9=-14$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -14.

$$a=-5 b=-9$$

Kirjoita \left(-x^{2}-5x\right)+\left(-9x-45\right) uudelleen muodossa -x^{2}-14x-45.

$$\left(-x^{2}-5x\right)+\left(-9x-45\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 9.

$$x\left(-x-5\right)+9\left(-x-5\right)$$

Jaa yleinen termi -x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x-5\right)\left(x+9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x-5=0 ja x+9=0.

$$x=-5 x=-9$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-14x-45=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -14 ja c luvulla -45 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-45\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -14 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-45\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-45\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -45.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-180}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 196 lukuun -180.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{16}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 16 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±4}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -14 vastaluku on 14.

$$x=\frac{14±4}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{14±4}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±4}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 14 lukuun 4.

$$x=\frac{18}{-2}$$

Jaa 18 luvulla -2.

$$x=-9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{14±4}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4 luvusta 14.

$$x=\frac{10}{-2}$$

Jaa 10 luvulla -2.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-9 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x-45=0$$

Lisää 45 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-x^{2}-14x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Kun luku -45 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-14x=-\left(-45\right)$$

Vähennä -45 luvusta 0.

$$-x^{2}-14x=45$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=\frac{45}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=\frac{45}{-1}$$

Jaa -14 luvulla -1.

$$x^{2}+14x=\frac{45}{-1}$$

Jaa 45 luvulla -1.

$$x^{2}+14x=-45$$

Jaa 14 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 7. Lisää sitten 7:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+14x+7^{2}=-45+7^{2}$$

Korota 7 neliöön.

$$x^{2}+14x+49=-45+49$$

Lisää -45 lukuun 49.

$$x^{2}+14x+49=4$$

Jaa x^{2}+14x+49 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x+7=2 x+7=-2$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-5 x=-9$$