Ratkaise -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11,937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3,937253933$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 8 ja c luvulla 47 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 64 lukuun 188.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 252 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 6\sqrt{7}.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Jaa -8+6\sqrt{7} luvulla -2.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{7} luvusta -8.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

Jaa -8-6\sqrt{7} luvulla -2.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

Vähennä 47 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

Kun luku 47 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

Jaa 8 luvulla -1.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

Jaa -47 luvulla -1.

$$x^{2}-8x=47$$

Jaa -8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -4. Lisää sitten -4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

Korota -4 neliöön.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

Lisää 47 lukuun 16.

$$x^{2}-8x+16=63$$

Jaa x^{2}-8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

Sievennä.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$