Ratkaise -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-10. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 10.

$$1,10 2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+10=11 2+5=7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 7.

$$a=5 b=2$$

Kirjoita \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right) uudelleen muodossa -x^{2}+7x-10.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Ota -x tekijäksi ensimmäisessä ja 2 toisessa ryhmässä.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-5=0 ja -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 7 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 49 lukuun -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 9 neliöjuuri.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±3}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Jaa -4 luvulla -2.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±3}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3 luvusta -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Jaa -10 luvulla -2.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=2 x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Jaa 7 luvulla -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Jaa 10 luvulla -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Jaa -7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{2}. Lisää sitten -\frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Lisää -10 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{7}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=2$$