Ratkaise -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -15.

$$-1,15 -3,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 2.

$$a=5 b=-3$$

Kirjoita \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right) uudelleen muodossa -x^{2}+2x+15.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -3.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Jaa yleinen termi x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-5=0 ja -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 2 ja c luvulla 15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 4 lukuun 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±8}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Jaa 6 luvulla -2.

$$x=-3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±8}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Jaa -10 luvulla -2.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-3 x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Vähennä 15 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Kun luku 15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Jaa 2 luvulla -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Jaa -15 luvulla -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Lisää 15 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sievennä.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=-3$$