Ratkaise -9x^2+18x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 1,816496581$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 0,183503419$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-9x^{2}+18x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla 18 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja -3.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-108}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 324 lukuun -108.

$$x=\frac{-18±\sqrt{216}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun 216 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 6\sqrt{6}.

$$x=\frac{6\sqrt{6}-18}{-18}$$

Jaa -18+6\sqrt{6} luvulla -18.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±6\sqrt{6}}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{6} luvusta -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{6}-18}{-18}$$

Jaa -18-6\sqrt{6} luvulla -18.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-9x^{2}+18x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-9x^{2}+18x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$-9x^{2}+18x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

Jakaminen luvulla -9 kumoaa kertomisen luvulla -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Jaa 18 luvulla -9.

$$x^{2}-2x=\frac{3}{-9}$$

Supista murtoluku \frac{3}{-9} luvulla 3.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{3}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$