Ratkaise -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -9, b luvulla 18 ja c luvulla 68 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 36 ja 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Lisää 324 lukuun 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Ota luvun 2772 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Kerro 2 ja -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Jaa -18+6\sqrt{77} luvulla -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{77} luvusta -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Jaa -18-6\sqrt{77} luvulla -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Vähennä 68 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Kun luku 68 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Jaa molemmat puolet luvulla -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

Jakaminen luvulla -9 kumoaa kertomisen luvulla -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Jaa 18 luvulla -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Jaa -68 luvulla -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Lisää \frac{68}{9} lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Sievennä.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$