Ratkaise -7x=3x^2-1

$$- 7 x = 3 x ^ { 2 } - 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{61}-7}{6}\approx 0,135041613$$

$$x=\frac{-\sqrt{61}-7}{6}\approx -2,468374946$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$-7x-3x^{2}=-1$$

Lisää 1 molemmille puolille.

$$-7x-3x^{2}+1=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}-7x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla -7 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 49 lukuun 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2\left(-3\right)}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{61}}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun \sqrt{61}.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{-6}$$

Jaa 7+\sqrt{61} luvulla -6.

$$x=\frac{-\sqrt{61}-7}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±\sqrt{61}}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{61} luvusta 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{-6}$$

Jaa 7-\sqrt{61} luvulla -6.

$$x=\frac{\sqrt{61}-7}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{61}-7}{6} x=\frac{\sqrt{61}-7}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 3x^{2} molemmilta puolilta.

$$-7x-3x^{2}=-1$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-7x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}-7x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-3}\right)x=-\frac{1}{-3}$$

Jaa -7 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Jaa -1 luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{7}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{6}. Lisää sitten \frac{7}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{3}+\frac{49}{36}$$

Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{49}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{61}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{61}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{61}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{61}}{6}$$

Vähennä \frac{7}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{61}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{61}-7}{6}$$