Ratkaise -6x^2+12x-486=0

$$- 6 x ^ { 2 } + 12 x - 486 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=1+4\sqrt{5}i\approx 1+8,94427191i$$

$$x=-4\sqrt{5}i+1\approx 1-8,94427191i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-6x^{2}+12x-486=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -6, b luvulla 12 ja c luvulla -486 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-6\right)\left(-486\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-6\right)\left(-486\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro -4 ja -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+24\left(-486\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 24 ja -486.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-11664}}{2\left(-6\right)}$$

Lisää 144 lukuun -11664.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-11520}}{2\left(-6\right)}$$

Ota luvun -11520 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±48\sqrt{5}i}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 2 ja -6.

$$x=\frac{-12±48\sqrt{5}i}{-12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±48\sqrt{5}i}{-12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 48i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-12+48\sqrt{5}i}{-12}$$

Jaa -12+48i\sqrt{5} luvulla -12.

$$x=-4\sqrt{5}i+1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±48\sqrt{5}i}{-12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 48i\sqrt{5} luvusta -12.

$$x=\frac{-48\sqrt{5}i-12}{-12}$$

Jaa -12-48i\sqrt{5} luvulla -12.

$$x=1+4\sqrt{5}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-4\sqrt{5}i+1 x=1+4\sqrt{5}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+12x-486=0$$

Lisää 486 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-6x^{2}+12x-486-\left(-486\right)=-\left(-486\right)$$

Kun luku -486 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-6x^{2}+12x=-\left(-486\right)$$

Vähennä -486 luvusta 0.

$$-6x^{2}+12x=486$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$\frac{-6x^{2}+12x}{-6}=\frac{486}{-6}$$

Jakaminen luvulla -6 kumoaa kertomisen luvulla -6.

$$x^{2}+\frac{12}{-6}x=\frac{486}{-6}$$

Jaa 12 luvulla -6.

$$x^{2}-2x=\frac{486}{-6}$$

Jaa 486 luvulla -6.

$$x^{2}-2x=-81$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-2x+1=-81+1$$

Lisää -81 lukuun 1.

$$x^{2}-2x+1=-80$$

Jaa x^{2}-2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=-80$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-80}$$

Sievennä.

$$x-1=4\sqrt{5}i x-1=-4\sqrt{5}i$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1+4\sqrt{5}i x=-4\sqrt{5}i+1$$