Ratkaise -5z^2-3z-11=-6z^2

$$- 5 z ^ { 2 } - 3 z - 11 = - 6 z ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$z=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 6z^{2} molemmille puolille.

$$-5z^{2}-3z-11+6z^{2}=0$$

Selvitä z^{2} yhdistämällä -5z^{2} ja 6z^{2}.

$$z^{2}-3z-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -3 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Korota -3 neliöön.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -11.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+44}}{2}$$

Lisää 9 lukuun 44.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{53}}{2}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$z=\frac{3±\sqrt{53}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{3±\sqrt{53}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun \sqrt{53}.

$$z=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{3±\sqrt{53}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{53} luvusta 3.

$$z=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=\frac{\sqrt{53}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 6z^{2} molemmille puolille.

$$-5z^{2}-3z-11+6z^{2}=0$$

Selvitä z^{2} yhdistämällä -5z^{2} ja 6z^{2}.

$$z^{2}-3z-11=0$$

Lisää 11 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$z^{2}-3z=11$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}-3z+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Lisää 11 lukuun \frac{9}{4}.

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Jaa z^{2}-3z+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Sievennä.

$$z-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} z-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$z=\frac{\sqrt{53}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$